1. به موضوع درس خود ،علاقه مند باشيد .

2. بر ماده درسي خود، مسلط باشيد .

3. بدانيد، از چه راهي مي توانيد آنچه را در نظر داريد، ياد بدهيد؟ بهترين روش ياد دادن را خودتان پيدا کنيد .

4. به چهره شاگردان خود نگاه کنيد، تا متوجه انتظارهاي آنها بشويد . دشواري هاي آنها را کشف کنيد؛ توانايي اين را داشته باشيد که بتوانيد خودتان را به جاي آنان بگذاريد .

5. به آگاهي هاي خشک و عريان قناعت نکنيد. بکوشيد مهارت را که لازمه عقل و انديشه است و عادت به کار منظم را، در دانش آموزان تقويت کنيد و تکامل بخشيد.

6. بکوشيد تا حدس زدن و پيش بيني کردن را، به آنان بياموزيد.

7. سعي کنيد، اثبات کردن را به دانش آموزان ياد بدهيد.

8. در مسأله اي که طرح شده است ، چيزي را جستجو کنيد که، براي حل مسأله هاي ديگر مفيد است . از موقعيتي که مسأله مشخص مفروض دارد ،روش کلي را کشف کنيد .

9. راز خود را ،بلافاصله فاش نکنيد . اجازه بدهيد دانش آموزان تا آنجا که مي توانند تلاش خود را براي حل يا حدس راه حل ، به کار برند؛ به دانش آموزان امکان بدهيد ،هر چه بيشتر خودشان کشف کنند .

10. با اشاره هاي خود ، دانش آموزان را راهنمايي کنيد، ولي عقيده خود را ، به زور به آنها تحميل نکنيد .

حالا اين ده «قانون» را پشت سر هم، و با توجه خاص به معلم رياضيات، مورد بررسي قرار مي دهيم

1. تنها يک شيوه واقعي و انکار ناپذير ،در آموزش ، وجود دارد : اگر معلم به درس خود علاقه مند باشد، به کلاس هم علاقه مند مي شود .

همين يادآوري بايد براي روشن شدن نخستين و مهم ترين دستورالعمل، کافي باشد : به موضوع درس خود علاقه مند باشيد .

2. اگر به موضوع درس ، علاقه اي نداريد معلمي را کنار بگذاريد، زيرا هرگز نخواهيد توانست ،به خوبي از عهده آن برآييد . علاقه، شرطي بي تغيير و بدون جانشين است¹ ؛اين شرط کاملا لازم است ولي به تنهايي کافي نيست . صادقانه ترين علاقه مندي ها و پربارترين حيله هاي تدريسي، نمي توانند به شما کمک کنند تا چيزي را که خودتان نمي دانيد يا بد مي دانيد، به ديگران ياد بدهيد .

همين اشاره بايد براي روشن شدن دستور دوم ،کافي باشد : به موضوع ماده درسي خود،مسلط باشيد .

معلم بايد هم به ماده درسي خود علاقه مند باشد و هم آن را بداند . من به اين دليل علاقه را در مقام نخست جا داده ام که ، در صورت وجود علاقه واقعي، امکان اين را خواهيد داشت که دانش لازم را به دست آوريد ،در حالي که فقدان علاقه حتي اگر دانش لازم هم ،کم و بيش وجود داشته باشد ، خيلي ساده شما را به يک معلم بد تبديل خواهد کرد .

3. چه بسا خواندن يک کتاب خوب و يا شنيدن يک سخنراني خوب درباره روند روان شناسانه يادگيري براي شما سودمند باشد ولي نه مطالعه کتاب و نه شنيدن سخنراني، به طور مجرد و به تنهايي، نمي تواند جنبه تعيين کننده و لازم اين روند را روشن کند . هيچ وسيله ديگري هم ، براي اين منظور ، کافي نيست : شما بايد بدانيد از چه راهي مي توانيد آن چه را لازم است ، ياد بدهيد ؛ شما بايد روند ياد دادن را، با تجربه شخصي خودتان ، به دست آوريد .اين تجربه ،از راه مطالعه مستقل و از راه دقت و نظارت بر کار شاگردانتان به دست مي آيد .

البته اين بد است که اصلي را بپذيريد ، بدون اينکه محرک هاي دروني تشويق کننده اي براي آن داشته باشيد، ولي بدتر از آن وقتي است که تنها در حرف به آن بها بدهيد . با وجود اين، موردي وجود دارد که به هيچ وجه نمي شود به موافقت سطحي يا بيروني با آن  رضايت داد . منظورم اصل بنيادي معلمي يعني اصل آموزش فعال است . بايد به طور جدي به اين نکته توجه داشته باشيد که اين اصل در جريان آموزش،نقشي تعيين کننده دارد . بهترين روش آموزش کدام است ؟ اين را بايد خودتان کشف کنيد .

4. حتي اگر دانش لازم را داشته باشيد، علاقه اي زنده از خود نشان دهيد و ، تا حدي روند آموزش را هم درک کرده باشيد،باز هم ممکن است معلم ضعيف باقي بمانيد . نمي خواهم اين حالت را عام بدانم، ولي آنقدرها هم نادر و استثنايي نيست . بعضي از ما دلمان مي خواهد با معلم خود به صورتي کاملا مناسب و در همه زمينه ها تماس داشته باشيم ولي تصميم نمي گيريم برخورد با کلاس خود را رو به را ه کنيم . براي اينکه ياد دادن که به صورتي انفرادي –به وسيله معلم- اداره مي شود نتيجه خوبي براي آنان که بايد ياد بگيرند- يعني دانش آموزان- به بار آورد، بايد تماس معيني بين دو طرف برقرار باشد : معلم بايد بتواند خود را در موقعيت شاگردان قرار دهد و در لحظه هاي لازم به ياري او بشتابد و زير بازوي او را بگيرد . به اين خاطر است که دستورالعمل زير داده شده است: به چهره شاگردان نگاه کنيد . سعي کنيد به انتظارهاي آناني ببريد و دشواريهاي آنان را درک کنيد . اين توانايي را داشته باشيد که خود را به جاي دانش آموزان بگذاريد .

واکنش دانش آموزان ،در برابر چيزي که به آنان مي آموزيد، به ميزان آمادگي آنها ،کشش هاي آنها و برنامه اي که براي آينده خود دارند بستگي پيدا مي کند ؛ بنايراين هميشه با خود بينديشيد و در شيوه کار خود در نظر بگيريد که : چه چيزهايي را مي دانند و چه چيزهايي را نمي دانند ؛چه چيزهايي را مي خواهند بدانند و چه چيزهايي آنان را به شوق نمي آورد ؛ چه چيزهايي را بايد بدانند و از چه چيزهايي مي توان صرف نظر کرد .

5. چهار «قانون» فوق را، مي توان اساس هنر علمي دانست. مجموعه آنها ، روي هم چيزي از نوع شرط هاي لازم و کافي را براي تعليم موفقيت آميز تشکيل مي دهند . اگر به موضوع درس خود علاقه مند باشيد و آن را به خوبي بدانيد؛ اگر علاوه بر آن ،بتوانيد خود را به جاي شاگرد قرار دهيد و متوجه شويد ،چه چيزي او را به شوق مي آورد و در کجا به دشواري بر مي خورد در اين صورت يا معلم خوبي هستيد و يا به زودي معلم خوبي خواهيد شد. شما احتمالا هنوز به مقداري تجربه نياز داريد .

به نتيجه هايي مي پردازيم که ناشي از«قانون»هاي مذکور هستند و،طبيعي است که،به طور عمده از آنهايي نام مي بريم که به موقعيت معلم رياضيات دبيرستاني مربوط مي شود .

هر دانشي از دو قسمت تشکيل مي شود: بخش آگاهي ها («دانش خالص و نظري») و بخش«مهارت ها» («توانايي در به کار گرفتن دانش نظري» ). مهارت ،هنر است؛ مهارت،يعني توانايي استفاده از آگاهي ها ، براي رسيدن به مقصود؛همچنين ،مهارت را مي توان به عنوان قدرتي که در اثر ممارست و تجربه طولاني به دست مي آيد،تعريف کرد؛به زبان کوتاه مي توان گفت که: مهارت،يعني توانايي در کار منظم .

مهارت در رياضيات، يعني توانايي حل مسأله ، قدرت اثبات و استدلال و همچنين توانايي در تجزيه و تحليل انتقادي جواب يا اثبات. مهارت ،در رياضيات ،به مراتب مهم تر است از يک دانش خالص و از آگاهي هاي خشک و عريان. به همين مناسبت، دستورالعمل زير ،براي معلمان اهميت زيادي دارد : به بعضي خصلت هاي منفرد اکتفا نکنيد ،سعي کنيد دانش آموزان خود را به سمت «مهارت» بکشانيد و به «کار منظم» عادت دهيد .

از آنجا که ، در رياضيات مهارت مهم تر از دانش است به اعتقاد من در تدريس رياضيات اين که «چگونه ياد مي دهند» خيلي مهم تر از آن است که «چه چيزي را ياد مي دهند».

6. اول حدس بزنيد ،بعد ثابت کنيد ؛کشف، معمولا به همين ترتيب انجام مي شود. شما بايد اين را بدانيد (بهتر از همه ،از تجربه خودتان) و، علاوه برآن ،بايد بدانيد که معلم رياضيات، امکان هايي عالي ،براي نشان دادن نقش حدس زدن و کشف کردن ،در اختيار دارد . بنابراين به خوبي مي تواند اين خصلت عقل انساني را ،که ارزش فوق العاده اي براي هر کار پژوهشي دارد تکامل دهد . چگونگي اخير ،به آن اندازه که لازم است ،گسترش پيدا نکرده و ، به همين دليل ،شايسته توجه خاص است. توصيه مي کنم،در اين باره مراقب شاگردان خود باشيد : سعي کنيد حدس زدن را به آنها بياموزيد .

شاگردان ضعيف و «سهل انديش» ممکن است حدس ها و پيشنهادهاي «وحشي» و عجيب و غريبي طرح کنند. چيزي که بايد به اين گونه شاگردان بياموزيم، حدس زدن «عقلاني»،«معني دار» و«در جهت درست» است .حدس زدن عقلاني، بر پايه استفاده با معني از قياس و شباهت قرار دارد و ،در حساب آخر،شامل تمام مرحله هاي«داوري نزديک به حقيقت» است، چيزي که در هر کار عملي ،نقش عمده اي به عهده دارد .

7. «رياضيات،مکتب خوبي براي داوري نزديک به حقيقت است» . اين حکم ،نتيجه گيري هاي مربوط به «قانون» قبلي را،جمع بندي مي کند؛اين حکم که ممکن است بعضي را متعجب کند،کاملا تازه است و حتي مي توانم ادعا کنم که به مؤلف تعلق دارد .

«رياضيات، مکتب خوبي، براي داوري هاي قياسي (استدلالي) است». اين حکم کسي را متحير نمي کند و چه بسا نوعي از آن به اندازه خود رياضيات سابقه داشته است . در واقع مطلب خيلي گسترده تر از اين ها است . مرزهاي رياضيات تمامي پهنه داوري هاي استدلالي را در بر مي گيرد . اين مرزها، هر دانشي را که توانسته باشد تا آن جا پيشرفت کند که ، مفهوم هاي مربوط به آن را بتوان به صورت مجرد و به شکل «منطقي-رياضي» بيان کرد،شامل مي شود. در بيرون اين مرزها ،جايي براي داوري استدلالي واقعي وجود ندارد(مثلا در زندگي روزانه خود،به ندرت با داوري «استدلالي» دقيق، مواجه مي شويم) . روشن است (و لزومي ندارد، درباره اين ديدگاه مورد قبول همه به تفصيل صحبت کنيم) که معلم رياضيات ،بايد همه شاگردان خود را(احتمالا ،به جز شاگردان پايين ترين کلاس ها) ،با داوري استدلالي آشنا کند : سعي کنيد،اثبات کردن را به آنها بياموزيد .

8. «مهارت» ،بخش مهم تر فرهنگ رياضي را تشکيل مي دهد و خيلي مهم تر و با ارزش تر است از آگاهي ساده نسبت به حقيقت ها و قضيه هاي مشخص . ولي اين «مهارت» را چگونه بايد ياد داد؟ دانش آموزان ،تنها از طريق تقليد و، به خصوص تمرين و عمل مي توانند اين توانايي را به دست آورند.

وقتي، حل مسأله اي را دنبال مي کنيد ،جنبه هاي آموزنده آن را جدا کنيد . جنبه مشخصي از راه حل را ، وقتي مي توان «آموزنده» دانست که قابل تقليد باشد ،يعني علاوه بر حل مسأله مفروض ، بتواند براي حل مسأله هاي ديگري هم به کار رود . وقتي که بر ويژگي هاي آموزنده راه حل تکيه مي کنيد، به جاي اينکه تنها به ستايش آنها بپردازيد(چيزي که مي تواند اثر معکوس داشته باشد) ،با شيوه رفتار خود ،آن را برجسته کنيد(هر معلم خوب ، بايد تا حدي يک هنرپيشه باشد). اگر ويژگي مورد نظر ،با هنرمندي نشان داده شود ، مي تواند راه حل شما را به يک راه حل نمونه و يک روش آموزنده تبديل کند ، به نحوي که دانش آموزان بتوانند ،در حل مسأله هاي ديگر،آن را سرمشق خود قرار دهند¹ . و اين همان چيزي است که در دستورالعمل آمده است: در مسأله اي که طرح شده است،چيزي را جستجو کنيد که براي حل مسأله هاي ديگر مفيد باشد. از موقعيتي که مسأله مشخص مفروض دارد ، روش کلي را کشف کنيد .

9- مي خواهم شما را با حيله کوچکي آشنا کنم که، هر معلمي بايد از آن آگاه باشد . ضمن بحث درباره مسأله، از دانش آموزان بخواهيد ،راه حل مسأله يا جواب آن را حدس بزنند. دانش آموزي که حدسي به ذهنش مي رسد و جرأت مي کند آن را با صداي بلند اعلام کند، در واقع ،مسئوليتي را براي ادامه کار، به عهده مي گيرد . از اين نترسيد که، ضمن بحث خود، از راه منحرف شود؛ او راهي را دنبال مي کند که به ذهنش رسيده است

«اگر مي خواهيد همه را کسل کنيد، همه چيز را تا آخر بگوييد».

10- دانش آموز محاسبه طولاني خود را به من نشان مي دهد. با نگاهي که به سطر آخر مي اندازم، متوجه نادرست بودن محاسبه مي شوم . با وجود اين، عجله اي در مطلع کردن دانش آموز، از اين امر نمي کنم. ترجيح مي دهم تمامي محاسبه را «گام به گام» مرور کنم و سطر به سطر آن را بخوانم: «آغاز کار خوب است، نخستين نتيجه گيري شما درست است . دنباله آن هم همين طور. خوب پيش رفته اي. سطر بعد هم اشتباهي ندارد. خوب، درباره اين سطر چه فکر مي کني؟» . سرچشمه اشتباه در اين سطر است و ، اگر دانش آموز خودش آن را کشف کند ،اين شانس را خواهد داشت که چيزي ياد بگيرد . ولي اگر بلافاصله مي گفتم :«اين غلط است» ، به احتمال زياد ، دانش آموز از من مي رنجيد و، در عمل ، از شنيدن سخنان من سرباز مي زد و اگر به خودم حق بدهم ، بيش از اندازه تکرار کنم: «اين غلط است» دانش آموز از من متنفر مي شود و ، در نتيجه همه تلاش هاي بعدي در مورد او به هدر مي رود .

همکار عزيز معلم! از بيان جمله «اشتباه کرده ايد» ، پرهيز کنيد. به جاي آن بگوييد : «در کل حق با شماست ولي...» . باور کنيد که اين نه دورويي بلکه انسانيت است. ممکن است «قانون» 4 ، شما را به اين فکر انداخته باشد، ولي اين توصيه را مي توان و بايد به طريقه هاي مختلف تکرار کرد : با اشاره هاي خود دانش آموزان را راهنمايي کنيد، ولي عقيده خود را، با زور به آنها تحميل نکنيد .

دو «قانون» 9و 10 ، يک هدف را دنبال مي کنند. اينها را روشن مي کنند که، تا آنجا که شرايط موجود آموزش اجازه مي دهد، بايد به دانش آموز امکان آزادي و ابتکار داد. معلم رياضيات ،به دليل کمي وقت، غالبا وسوسه مي شود که در جهت خلاف اين «قانون» ، يعني بر خلاف اصل آموزش فعال حرکت کند . گاهي براي رسيدن به جواب چنان شتاب مي کند که دانش آموز فرصتي براي توجه و بررسي مطلب پيدا نمي کند . ممکن است ، به سرعت، مفهومي را مطرح و يا قاعده اي را تنظيم کند ، بدون اينکه بحث کافي درباره آن شده باشد و ، در نتيجه بدون اينکه دانش آموز، ضرورت اين مفهوم يا قاعده را احساس کرده باشد . گاهي ممکن است ، به اصطلاح مثل ماشين کار کند، يعني از وسيله اي و امکاني استفاده کند (مثلا ، يک خط راست کمکي در شکل هندسي رسم کند) که مسآله را،بلافاصله، به نتيجه برساند، ولي اين وسيله طوري باشد که دانش آموز، هرگز در زندگي خود ، با آن مواجه نشده باشد و آدمي چگونه مي تواند درباره چنين حيله اي که، همچون بلاي آسماني و به طور ناگهاني ، بر او نازل شده است ، بينديشد؟

خيلي از وسوسه ها ممکن است اين اصل را خراب کند . به همين مناسبت، بايد به جنبه هاي ديگري هم توجه داشته باشيد :

به دانش آموزان امکان بدهيد، پرسش هاي خود را مطرح کنند و يا خودتان پرسش هايي را مطرح کنيد که زبان حال آنها باشد . 

اين امکان را بوجود آوريد که دانش آموزان، به پرسش ها پاسخ بدهند و يا خودتان به انها پاسخ بدهيد ،منتهي به صورتي که بتواند معرف پاسخ دانش آموزان شما باشد .

در هر حالتي ، از طرح پرسش هايي که هرگز به ذهن کسي نمي رسد، و از آن جمله به ذهن خود شما، پرهيز کنيد .